상대적 구매력 평가설 공식 완전 정리: 환율과 물가의 관계 이해하기

📚 경제를 쉽게, 깊이 있게 — 신드바바입니다.

📘 상대적 구매력 평가설(Relative Purchasing Power Parity) 완벽 정리

1. 먼저 기호 뜻부터 확인해 볼까요?

• E_t: 미래 환율 (예: 1년 뒤 예상 환율)
• E₀: 현재 환율
• P_t: 미래 자국 물가
• P₀: 현재 자국 물가
• P_t^*: 미래 외국 물가
• P₀^*: 현재 외국 물가
• π: 자국 물가상승률
• π^*: 외국 물가상승률

🧠 로그의 기본 성질 먼저 짚고 넘어가기

• $\log(ab) = \log a + \log b$ → 곱셈은 덧셈으로
• $\log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b$ → 나눗셈은 뺄셈으로
• $\log(a^n) = n \log a$ → 지수는 곱셈으로

📘 상대적 PPP의 핵심 수식

기본 공식: $$\frac{E_t}{E_0} = \frac{P_t / P_0}{P_t^* / P_0^*}$$

즉, 환율이 변하는 비율은 자국 물가가 얼마나 올랐는지와 외국 물가가 얼마나 올랐는지의 비율 차이에 따라 결정된다는 뜻입니다.

🧠 상대적 PPP 공식은 이렇게 만들어졌어요!

• Step 1. 양변에 로그를 취하면: $$\ln\left(\frac{E_t}{E_0}\right) = \ln\left(\frac{P_t / P_0}{P_t^* / P_0^*}\right)$$
• 로그 성질을 적용하면: $$\ln E_t - \ln E_0 = (\ln P_t - \ln P_0) - (\ln P_t^* - \ln P_0^*)$$
• 이를 물가상승률로 표현하면: $$\ln E_t - \ln E_0 = \pi - \pi^*$$ 👉 여기서
• $\pi \approx \ln P_t - \ln P_0$
• $\pi^* \approx \ln P_t^* - \ln P_0^*$

✅ 왜 로그를 쓰는 걸까요?

• 수학적으로 간단해지고
• 비율(%)을 덧셈처럼 다룰 수 있고
• 선형(linear) 관계로 모델링이 쉬워집니다.

🧠 2. 물가상승률(Inflation Rate)의 정의

• $\pi = \frac{P_t - P_0}{P_0} \quad \Rightarrow \quad 1 + \pi = \frac{P_t}{P_0}$
• 외국도: $1 + \pi^* = \frac{P_t^*}{P_0^*}$

🔄 3. 상대적 PPP를 물가상승률 비율로 표현하면?

$$\frac{E_t}{E_0} = \frac{1 + \pi}{1 + \pi^*}$$ 같은 식을 물가 수준으로 다시 쓰면: $$\frac{E_t}{E_0} = \frac{P_t / P_0}{P_t^* / P_0^*}$$

✅ 공식 정리

• $$\frac{E_t}{E_0} = \frac{1 + \pi}{1 + \pi^*}$$ → 물가상승률로 표현한 상대적 PPP
• $$\frac{E_t}{E_0} = \frac{P_t / P_0}{P_t^* / P_0^*}$$ → 물가 수준으로 표현한 상대적 PPP

📌 더 쉬운 비유

“사과 가격이 1,000원에서 1,100원이 되면, 10% 오른 것과 같은 말이에요.”
즉, 비율 1.1과 퍼센트 10%는 같은 정보입니다.

→ 수학 표현만 다르고, 전달하는 정보는 동일!

📘 로그형 근사: 변화율로 보는 공식

$$\frac{\Delta E}{E} \approx \pi - \pi^*$$

• $\frac{\Delta E}{E}$: 환율 변화율
• $\pi$: 자국 물가상승률
• $\pi^*$: 외국 물가상승률

✍️ 예시로 이해하기

• 자국 물가상승률: $\pi = 10\%$
• 외국 물가상승률: $\pi^* = 5\%$
• 현재 환율: $E_0 = 1,000$원/달러

$$\frac{\Delta E}{E} = 0.10 - 0.05 = 0.05 \Rightarrow 5\%$$ $$E_t = 1,000 \cdot (1 + 0.05) = 1,050$$ ✅ 환율은 1,050원/달러가 되어야 합니다!

📚 고급 해석

• 이 수식은 무차익 조건 아래에서 환율이 조정되어야 함을 설명합니다.
• 자국의 물가상승률이 더 높다면, 자국 통화의 가치는 하락해야 합니다.
• 전제 조건:
  • 무역 가능 상품 중심
  • 완전한 시장, 마찰 없음
  • 장기적 균형에서 성립
• ※ 단기에는 운송비, 관세, 시장 왜곡 등으로 정확히 성립하지 않을 수 있지만, 중장기적으로는 유용한 이론입니다.

✅ 결론 요약

• 고등학교~초급:

  물가 비율식(기본 개념 설명 시)

  $$\frac{E_t}{E_0} = \frac{P_t / P_0}{P_t^* / P_0^*}$$ → 단순한 물가비율로 환율변화 설명
• 대학:

  변화율식(환율 변화 추정 시)

  $$\frac{\Delta E}{E} \approx \pi - \pi^*$$ → 물가상승률 차이만큼 환율 조정
• 대학(원):

  로그형식(이론 해석)

  $$\ln E_t - \ln E_0 = \ln P_t - \ln P_0 - (\ln P_t^* - \ln P_0^*)$$ → 로그를 이용한 선형 분석 모델

✨ 읽어주셔서 감사합니다. 오늘도 경제와 가까워진 하루가 되었길 바랍니다!

📚 보충 설명:

상대적 PPP의 원리와 수식 유도

상대적 PPP에 따르면, 환율은 양국의 물가상승률 차이만큼 변화해야 합니다.

즉, 환율의 비율 변화율을 이렇게 나타낼 수 있어요:

$$\frac{\Delta E}{E_0} = \pi - \pi^*$$ 또는 $$\frac{E_t - E_0}{E_0} = \pi - \pi^*$$

양변에 $E_0$를 곱하면:

$$E_t - E_0 = E_0 \cdot (\pi - \pi^*)$$

그리고 양변에 $E_0$를 더해주면:

$$E_t = E_0 + E_0 \cdot (\pi - \pi^*) = E_0 \cdot \left(1 + (\pi - \pi^*)\right)$$

✅ 이 식은 다음과 같습니다:

$$E_t = E_0 \cdot (1 + 0.05)$$

예를 들어,

• $\pi = 10\% = 0.10$
• $\pi^* = 5\% = 0.05$

이므로

$$\pi - \pi^* = 0.05$$

즉, 현재 환율 $E_0 = 1,000$일 때:

$$E_t = 1,000 \cdot (1 + 0.05) = 1,050$$

🔑 요약 포인트

• 상대적 PPP는 변화율(%)을 기준으로 합니다.
• 환율 변화는 $E_t = E_0 \cdot (1 + \text{환율 변화율})$ 형태로 표현됩니다.
• 환율 변화율은 $\pi - \pi^*$ 즉, 자국과 외국의 물가상승률 차이입니다.
• 따라서, 상대적 PPP 공식은
  $$E_t = E_0 \cdot \frac{1 + \pi}{1 + \pi^*} \quad \text{또는} \quad E_t = E_0 \cdot (1 + \pi - \pi^*)$$ 로 정리됩니다.

---

🧠 상대적 PPP 공식은 이렇게 만들어졌어요

1. 핵심 전제: 상대적 PPP는 "한 나라 통화가치는 양국의 물가상승률 차이에 따라 변한다"라고 가정합니다.
   예: 자국 물가 10% 상승, 외국 물가 5% 상승 → 자국 통화가치는 5% 하락해야 구매력이 같아짐.
2. 물가상승률 수식:
   자국: $$\pi = \frac{P_t - P_0}{P_0} \quad \Rightarrow \quad \frac{P_t}{P_0} = 1 + \pi$$ 외국: $$\pi^* = \frac{P_t^* - P_0^*}{P_0^*} \quad \Rightarrow \quad \frac{P_t^*}{P_0^*} = 1 + \pi^*$$
3. 상대적 PPP 기본 공식: $$\frac{E_t}{E_0} = \frac{\text{자국 물가 상승률}}{\text{외국 물가 상승률}} = \frac{P_t / P_0}{P_t^* / P_0^*} = \frac{1 + \pi}{1 + \pi^*}$$
4. 직관적 이해: 자국 물가가 외국보다 더 많이 오르면, 자국 통화 가치는 상대적으로 하락하여 환율이 상승합니다.